Dopo qualche anno sono incappato nel materiale che avevo prodotto per la mia tesi triennale, e ho deciso di renderlo disponibile online. L'argomento della tesi è l'equazione di Pell (Archived) e i metodi di soluzione basati sulle frazioni continue (Archived), sia nel caso classico sugli interi che nel più recente caso polinomiale.

L'equazione di Pell sugli interi chiede, per un fissato D \in \bbZ, di trovare e caratterizzare le soluzioni intere x, y \in \bbZ dell'equazione x^2 - D y^2 = 1.

Molti teoremi sono noti sull'equazione di Pell, che è stata studiata per più di trecento anni; ad esempio è noto che le soluzioni formano un gruppo abeliano di rango uno, e che l'equazione ammette soluzioni non banali¹ per ogni D che non è un quadrato perfetto.

L'equazione polinomiale è invece meno studiata: essa chiede per un fissato polinomio D(t) \in \bbZ[t] di trovare delle soluzioni polinomiali P(t), Q(t) \in \bbZ[t] che soddisfino P(t)^2 - D(t) Q(t)^2 = 1.

La differenza principale dal caso intero è che essa non è risolvibile per tutti i D(t), e in fatti un teorema di Abel mostra una connessione tra la solvibilità dell'equazione con la periodicità dello sviluppo in frazioni continue di \sqrt{D(t)}.

La tesi inoltre esplora la questione della minimalità delle specializzazioni delle soluzioni polinomiali, ovvero la connesione tra la minimalità di una soluzione polinomiale P(t), Q(t) \in \bbZ[t] e la minimalità della soluzione ottenuta valutando P e Q in t_0 \in \bbZ nell'equazione intera corrispondente a D = D(t_0).

In quell'anno ho parlato dell'equazione di Pell all'esame di passaggio d'anno in Normale (Archived). Potete trovare qui il pdf di quello che ho detto. Penso che sia una buona prima lettura introduttiva all'equazione visto che si limita ad enunciare i teoremi principali e a dare molti esempi ed euristiche.

Rendo disponibile anche il pdf della tesi e una versione migliorata delle slides della presentazione della tesi, anche se la prima non è la miglior referenza per le dimostrazioni, e la seconda è solo una versione più colorata del colloquio di passaggio d'anno.

Footnotes

1. Ovvero diverse da (\pm 1, 0) che sono ovviamente sempre soluzioni. ↩